Grenzwert

Sprungstelle - Isolierter Punkt

Beispiel 1: Sprungstelle

(sprungstelle.pvw)
 
Wählen Sie Menüpunkt Datei > Alles neu!
Geben Sie als Funktionsterm ein:
x^2 falls x<=2
4-0,5*x^2
Beenden Sie mit !
Schalten Sie in der Schalterzeile die Trennstellen-Symbole ein!
Nach Eingabe des Funktionsterms vergrößern wir das Bild soweit wie möglich:
Klicken Sie auf Ausschnittsvergrößerung!
Der Cursor wird zum Rechteck!
Ziehen Sie nun mit der rechten Maustaste ein Rechteck auf, dass etwa den Bereich des 1.Quadranten erfasst, lassen Sie die Maustaste los und beenden Sie mit oder .
Klicken Sie nun wieder auf x0-Gerade!
Der Cursor ist wieder normal.
 
Nun schalten wir noch einige Zusatzinformationen ein:
Klicken Sie in der Schalterzeile auf waagrechter y-Pfeil, im Register Info auf x-Anzeige und y-Anzeige !
Wir führen jetzt eine Grenzwert-Betrachtung x → 2 durch.
Klicken Sie nun in der Schalterzeile auf Grenzwert!
Geben Sie in das Fenster ein x->2 und beenden Sie mit oder .
Zunächst der linksseitige Grenzwert x → 2-:
Stellen Sie die x0-Gerade auf einen x-Wert links von 2 ein, indem Sie links von der roten Geraden auf den Bildschirm klicken.
Nun müsste der Bildschirm so wie rechts aussehen:
 
Tippen Sie mehrfach die Pfeil-rechts-Taste an!
(Der Cursor muss dazu irgendwo auf der Zeichenfläche stehen)
Die x0-Gerade bewegt sich nach rechts. Im Register Info beobachten wir die Veränderung von x und y, der graue Pfeil zeigt ebenfalls die y-Werte an! Die y-Werte "gehen gegen 4", bzw. "kommen der 4 beliebig nahe".
 
Jetzt der rechtsseitige Grenzwert x → 2+:
Stellen Sie die x0-Gerade auf einen x-Wert rechts von 2 ein, indem Sie rechts von der roten Geraden auf den Bildschirm klicken.
Tippen Sie mehrfach die Pfeil-links-Taste an!
Der Cursor muss dazu irgendwo auf der Zeichenfläche stehen!
Die x0-Gerade bewegt sich nach links. Im Register Info beobachten wir die Veränderung von x und y, der graue Pfeil zeigt ebenfalls die y-Werte an! Die y-Werte gehen gegen 2!
 
Es ergeben sich unterschiedliche Werte bei links- oder rechtsseitiger Annäherung. Der Grenzwert für x → 2 existiert nicht!
 

Beispiel 2: Isolierter Punkt

( isopunkt.pvw)
Klicken Sie aufDefinitionen.
Klicken Sie auf den Papierkorb vor f!
Geben Sie als Funktionsterm ein:
x^2 für x<2
2,5 für x=2
6-0,5*x^2
Beenden Sie mit !
Stellen Sie die x0-Gerade auf einen x-Wert links von 2 ein, indem Sie links von der roten Geraden auf den Bildschirm klicken.
Nun müsste der Bildschirm so wie rechts aussehen:
 
Achten Sie darauf, dass Trennstellen-Symbole und Grenzwert eingeschaltet sind. Wir führen jetzt eine Grenzwert-Betrachtung durch:x → 2 durch, zunächst der linksseitige Grenzwert x → 2-:
Tippen Sie mehrfach auf die Pfeil-rechts-Taste an!
Der Cursor muss dazu irgendwo auf der Zeichenfläche stehen!
Die x0-Gerade bewegt sich nach rechts. Im Register Info beobachten wir die Veränderung von x und y, der graue Pfeil zeigt ebenfalls die y-Werte an! Die y-Werte gehen gegen 4!
 
Jetzt der rechtsseitige Grenzwert x →2+:
Stellen Sie die x0-Gerade auf einen x-Wert rechts von 2 ein, indem Sie rechts von der roten Geraden auf den Bildschirm klicken.
Tippen Sie mehrfach auf die Pfeil-links-Taste an!
(Der Cursor muss dazu irgendwo auf der Zeichenfläche stehen.)
Die x0-Gerade bewegt sich nach links. Im Register Info beobachten wir die Veränderung von x und y, der graue Pfeil zeigt ebenfalls die y-Werte an! Die y-Werte gehen ebenfalls gegen 4!
 
Es ergeben sich gleiche Werte bei links- oder rechtsseitiger Annäherung. limx → 2f(x) = 4; Der Grenzwert ist 4!