Definitionslücken und Nullstellen
einer gebrochen-rationalen Funktion

(gebr-rat1.pvw)

 
Definitionslücken und Nullstellen der Funktion f(x)=(x+1) / (x^2-a)
a>0 ∧ a ≠ 1
 
fa besitzt 2 Polstellen: x1= - √a  x2=√a
und eine Nullstelle: x3= - 1;
Der Graph besitzt 3 Asymptoten mit den Gleichungen:
a1: x= -√a (vertikal)
a2: x= -√a (vertikal)
a3: y=0 (x-Achse)

a=4

 
Durch Vermindern von a rücken die beiden vertikalen Asymptoten in Richtung y-Achse. Wenn die linke Polstelle mit der Nullstelle zusammenfällt, erhalten wir den Sonderfall:
 
a=1
 
Es ergibt sich eine stetig behebbare Definitionslücke x1= - 1
Im Graphen fehlt an dieser Stelle ein Punkt.

a=1

 
Vermindert man a weiter, so fallen schließlich beide Polstellen zusammen:
 
a=0
 
Wir erhalten einen Pol 2.Ordnung: x1/2= 0
und eine Nullstelle: x3= - 1;
Der Graph besitzt 2 Asymptoten mit den Gleichungen:
a1/2: x= 0 (vertikal)
a3: y=0 (x-Achse)

a=0

 
Vermindert man a weiter, wird a negativ, die Funktion besitzt dann keine Definitionslücken mehr.
 
a<0
 
f besitzt eine Nullstelle: x3= - 1;

a= - 0,3

 

 
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