Experimentelle Mathematik:

Die Exponentialfunktionen ax

(Datei: exponentialfunktionen.pvw)
Die Graphen von ax - Die Ableitung - Die Eulersche Zahl e - Basiswechsel - Der Verdoppelungsabstand

 

Die Graphen von ax

Wählen Sie Menüpunkt Datei > Alles neu!
Geben Sie als Funktionsterm ein: a^x
Beenden Sie mit !
Stellen Sie den Parameter im Register Info auf a = 2!
Klicken Sie in der Schalterzeile auf und ziehen Sie die x-Achse des Koordinatensystems zum unteren Rand!
Klicken Sie in der Schalterzeile nun wieder auf
Verändern Sie a, indem Sie im Register Info auf oder klicken.
"Durch Herumspielen" ergeben sich folgende Eigenschaften von ax:
Für 0<a<1 erhalten wir fallende, für a>1 steigende Funktionsgraphen. Für a<0 ist ax undefiniert!
Die x-Achse ist Asymptote, alle Graphen schneiden die y-Achse in (0/1). Es gibt keine Nullstellen, also keine Schnittpunkte mit der x-Achse. Es ist stets y>0, denn alle Punkte liegen oberhalb der x-Achse.

Die Ableitung der Exponentialfunktion

Klicken Sie in der Schalterzeile auf Entwickeln!
Geben Sie in das Eingabefenster -4 ein!
Der Cursor ist nun ein Stift. Die x0-Gerade steht nun auf x=-4!
Klicken Sie rechts im Register Info auf x, f und f'.
Klicken Sie in der Schalterzeile auf f'.
Im linken Bereich sind die Funktionswerte f(x) (betragsmäßig) klein, außerdem verläuft der Graph ziemlich flach, sodass auch m=f'(x) kleine Werte hat.
Ziehen Sie nun mit dem Cursor bei gedrückter linker Maustaste nach rechts.
Damit wird der Graph der Ableitungsfunktion gezeichnet.
Weil die Steigung f'(x) >0 ist, nehmen die y-Werte zu. Ferner wird der Graph steiler, und auch f'(x) nimmt zu.
Für f' ergibt sich ein ähnlicher Kurvenverlauf wie von f !
 
Anmerkung: Mit Hilfe des Differenzialqotienten, angewandt auf ax, läßt sich beweisen, dass (ax)'=kax bzw. y'=ky

Die Eulersche Zahl e

Es stellt sich die Frage, ob es eine Zahl a gibt, für die in der oberen Gleichung k=1 ist. In diesem Fall wäre die Funktion gleich ihrer Ableitung. Diese Zahl gibt es, man nennt sie die Eulersche Zahl e.
Dies bedeutet, dass (ex)'=ex
Verändern Sie im Register Info den Parameter a so, dass der Ableitungsgraph mit dem Funktionsgraphen zusammenfällt.
Dies ist für a=e≈2,7 der Fall.
 

Basiswechsel

Stellen Sie den Parameter im Register Info wieder auf a = 2!
Klicken Sie in der Schalterzeile auf Entwickeln!
Klicken Sie in der Schalterzeile auf f'.
Die Ableitung ist nun nicht mehr sichtbar, der Cursor wieder ein Pfeil, es wird die Funktion y=2x dargestellt!
Klicken Sie aufDefinitionen.
Klicken Sie auf Funktion definieren!
Geben Sie als Funktionsterm ein: fk: e^(k*x)
Beenden Sie mit !
Wählen Sie k=1
Für k=1 erhalten wir die e-Funktion y=ex.
Verändern Sie k, indem Sie im Register Info auf oder klicken.
Wählen Sie k so, dass die Graphen von fk mit ax deckungsgleich sind!
Es ergibt sich für a=2 ⇒ k=0,6 , also 2x=e0,6x
Für andere Werte von a ergibt sich "experimentell":
3x=e1,1x oder 0,5x=e-0,7x
Jede Exponentialfunktion ax läßt sich als e-Funktion y=ekx schreiben!
Anmerkung: Es ist k=ln(a), denn eln(a)x=(eln(a))x=ax

Der Verdoppelungsabstand.

Klicken Sie auf Definitionen.
Klicken Sie auf den Papierkorb vor fk um fk zu löschen!
Wir definieren nunmehr 2 Punkte P1 und P2:
Klicken Sie auf Punkt definieren!
Tragen Sie als Punktkoordinaten ein P1(u / f(u))!
P1 ist ein x-beliebiger Punkt des Graphen.
Klicken Sie auf Punkt definieren!
Tragen Sie als Punktkoordinaten ein P2(u+d / 2*f(u))!
P2 ist in Bezug auf P1 stets um d nach rechts verschoben und besitzt den doppelten y-Wert, liegt damit aber nicht unbedingt auf dem Graphen.
Beenden Sie mit Ok!
Verändern Sie im Register Info den Parameter d so, dass der Punkt P2 auf dem Funktionsgraphen liegt.
Es ergibt sich d=1. Mit a=2, u=0 sollte der Bildschirm so wie rechts aussehen!

Soweit ist nichts Ungewöhnliches passiert.
Verändern Sie im Register Info den Parameter u !
Ergebnis: Nicht nur P1, sondern auch P2 liegt für "x-beliebiges" u auf dem Graphen. f(x+d)=2f(x). Geht man von P1 um d rechts, so verdoppelt sich y und dies gilt für jeden beliebigen Punkt P1!
 
Nun betrachten wir andere Werte von a!
Verändern Sie im Register Info den Parameter a!
P2 liegt nun nicht mehr auf dem Graphen.
Verändern Sie im Register Info den Parameter d so, dass der Punkt P2 wieder auf dem Funktionsgraphen liegt.
Verändern Sie im Register Info den Parameter u auf beliebige Werte!
Ergebnis: Beide Punkte liegen für beliebiges u auf dem Graphen! Jede Exponentialfunktion y=ax besitzt einen für sie charakteristischen Verdoppelungsabstand d=loga(2).
Überzeugen Sie sich davon, dass dies für Nicht-Exponentialfunktionen nicht gilt, indem Sie statt ax andere Funktionen nehmen, z.B. y=x2 oder y=1/x.
Verändern Sie im Register Info den Parameter u auf einen Wert 0 < u < 1!
Der Verdoppelungsabstand ist nun negativ , bzw. - von links nach rechts betrachtet ergibt sich hier eine Halbierung des Funktionswertes.
 
Die Tatsache, dass sich die Funktionswerte in konstanten Abständen verdoppeln oder halbieren, finden wir in der Natur bei Wachstumsprozessen oder beim Gesetz des radioaktiven Zerfalls wieder.