Einführung des Differenzialquotienten

(Datei:differenzialquotient-einfuehrung.pvw)

 

Betrachtet wird die Funktion f (grün) mit der Gleichung: f(x)=x2 an der Stelle x1=1. An dieser Stelle befindet sich der Punkt P(1;1) des Graphen (rot). Ein zweiter Punkt Q(x0;f(x0) auf dem Graphen ist beweglich (gelb). Ferner ist die Sekante PQ eingezeichnet (lila).
 
Im rechten Teil des Fensters werden die Werte x0, f(x0) und die Steigung der Sekante mSek angezeigt.

 
Rechtsseitige Annäherung:
Klicken Sie irgendwo rechts neben die rote Gerade auf die Zeichenfläche!
Drücken Sie nun wiederholt die Pfeil links Taste
Statt dessen können Sie auch die x0-Gerade mit der Maus nach links ziehen. Der Punkt Q bewegt sich in Richtung P auf dem Graphen, die Sekante geht in eine Tangente über, die Steigung mSek wird 2.
 

(Stark verkleinert)
Linksseitige Annäherung:
Klicken Sie irgendwo links neben die rote Gerade auf die Zeichenfläche!
Drücken Sie nun wiederholt die Pfeil rechts Taste!
Statt dessen können Sie auch die x0-Gerade mit der Maus nach rechts ziehen. Ergebnis:>
Bei links- und rechtsseitiger Annäherung ergibt sich derselbe Grenzwert für mSek.

 
Dies läßt sich nun genauso durchführen.

Nicht differenzierbare, aber stetige Funktion

Annäherung von links Annäherung von rechts
Bei einem "Knick" des Graphen ist die Grenzlage der Sekante bei links- und rechtsseitiger Annäherung unterschiedlich, f ist nicht differenzierbar.

Nicht stetige Funktion

Annäherung von links Annäherung von rechts
Bei einem "Sprung" des Graphen ist die Grenzlage der Sekante bei links- und rechtsseitiger Annäherung unterschiedlich (bei Annäherung von Links wird die Sekante senkrecht zur x-Achse), f ist nicht differenzierbar.